Na moim podstawowym blogu Komentarze fizyka zamieściłem nowy wpis o efekcie Józefa. Zapraszam!

Szkolny kurs fizyki i doświadczenie życiowe skłaniają nas do analizowania zjawisk przyrodniczych w kategoriach liniowych. Tymczasem to odstępstwa od zachowania liniowego sprawiają, że natura jest, jaka jest.

Wyobraźmy sobie układ fizyczny, na który działa jakiś impuls, sygnał zewnętrzny. Układ reaguje, czy też, jak to lubią mówić fizycy, odpowiada na zewnętrzny impuls. Na przykład sprężyna wydłuża się, zmienia się prąd płynący przez opornik, zmienia się trajektoria ruchu ciała. Cóż w tym kontekście oznacza liniowość? Dwie rzeczy. Po pierwsze, że skutek jest proporcjonalny do przyczyny. Jeżeli na sprężynę zadziałamy dwukrotnie większą siłą, jej wydłużenie wzrośnie dwa razy. Jeżeli napięcie na oporniku spadnie trzykrotnie, trzykrotnie spadnie natężenie płynącego przezeń prądu. Dlatego intuicyjnie spodziewamy się, że zmiana warunków zewnętrznych o 50% może spowodować znaczną zmianę stanu układu, ale gdy warunki zmienią się o 0,1%, wywołaną tym zmianę stanu można pominąć. Po drugie, jeżeli na układ działają dwa impulsy niezależne, nie zakłócają się nawzajem, a odpowiedzi układu dodają się. To samo można powiedzieć o trzech, czterech – i tak dalej – impulsach. To właśnie dzięki temu drgająca struna lub membrana może przenosić dźwięki złożone, a fale elektromagnetyczne mogą służyć do przekazywania informacji na odległość.

Wiele podstawowych praw fizyki ma charakter liniowy. Prawami takimi są druga zasada dynamiki Newtona, opisujące elektromagnetyzm równania Maxwella, prawo Ohma, równanie Schrödingera, a także prawa sprężystości czy wreszcie tak zwane „równania fizyki matematycznej”, w tym równanie falowe i równanie dyfuzji. Od strony matematycznej liniowość oznacza elegancję i prostotę opisu. Jednak w wielu przypadkach liniowość jest tylko użytecznym przybliżeniem, tym bardziej, że w przyrodnie nie istnieją ciała idealnie sprężyste czy idealne oporniki.

Większość zjawisk przebiega nieliniowo. Weźmy klasyczny przykład, grawitacyjny problem trzech ciał. O ile problem dwu ciał (gwiazda i planeta) posiada eleganckie rozwiązanie (orbity ciał są krzywymi stożkowymi, których parametry łatwo wyliczyć), o tyle problem trzech ciał (gwiazda podwójna i planeta) prowadzi do nieregularnych i niestabilnych orbit. Grawitacja ma charakter nieliniowy – jest to prawdą tak na gruncie teorii Newtona, jak i Einsteina. Innymi przykładami zachowań nieliniowych są chaos, turbulencje, dynamika atmosfery, elementy półprzewodnikowe (na przykład diody, tranzystory), zmiany stanów skupienia i inne przejścia fazowe, nadprzewodnictwo i nadciekłość, a także oddziaływania cząstek elementarnych, opisywane przez Model Standardowy. Ważną cechą układów nieliniowych jest to, że odpowiedź na impuls zewnętrzny zależy nie tylko wielkości impulsu, ale także od aktualnego stanu układu. Jeśli rzeczywistą, nieidealną sprężynę pozostającą w pobliżu swojego stanu równowagi obciążyć niewielką siłą, spowoduje to niewielkie wydłużenie sprężyny. Jeżeli jednak ta sama sprężyna już będzie bardzo rozciągnięta, dodanie równie niewielkiego obciążenia może spowodować jej trwałe odkształcenie.

W przypadku jednowymiarowym nieliniowość może oznaczać, że dwa niezależne impulsy działające na pewien układ wzmacniają się wzajemnie – tak, że odpowiedź na dwa impulsy jest większa od sumy odpowiedzi na każdy z nich z osobna – lub przeciwnie, impulsy mogą się wzajemnie osłabiać, a nawet współistnienie obu typów reakcji! W przypadkach wielowymiarowych sytuacja może być jeszcze bardziej skomplikowana. O ile więc liniowość oznacza prostotę opisu, o tyle nieliniowość oznacza większy stopień skomplikowania, ale prowadzi do ciekawych, niekiedy zaskakujących zachowań.

Rozpatrzmy na koniec układ nieliniowy, opisany przez potencjał z dwoma minimami, L oraz P. W otoczeniu każdego minimum działają siły, oznaczone na rysunku niebieskimi strzałkami, które starają się sprowadzić układ do stanu stabilnego. Jeśli nasz układ znajduje się w lewym minimum potencjału, a zaburzenie zewnętrzne przerzuci go do któregoś ze stanów stanu A, B lub C, nic wielkiego się nie stanie, gdyż „niebieskie” siły znów sprowadzą go do punktu wyjścia. Jeśli jednak zaburzenie przerzuci układ do stanu D, a więc na drugą stronę bariery oddzielającej oba minima, „niebieskie” siły sprowadzą układ do prawego minimum, które może oznaczać zupełnie inny stan, inne właściwości układu. Przejście ze stanu B do C jest większe niż ze stanu C do D, ale to skutki tego drugiego, pozornie mniejszego przejścia, mogą być o wiele większe. Znane przysłowie mówi o ostatniej słomce, która złamała grzbiet wielbłąda. Wszyscy zetknęliśmy się z sytuacją, w której drążek, deska, półka, torba na zakupy – na szczęście raczej nie żywy wielbłąd – wytrzymuje stopniowe zwiększanie obciążenia, aby raptem, po dodaniu czegoś małego, nagle pęknąć, złamać się. Odpowiada to przejściu z otoczenia lewego do otoczenia prawego minimum na powyższym rysunku. Ostatnia słomka, ostatni pakuneczek włożony do torby, byłby w tym języku przejściem ze stanu C do D.

Pisałem niedawno o zmianach klimatu. Jednym z często podnoszonych argumentów przeciwko hipotezie o antropogenicznym globalnym ociepleniu jest to, iż ludzkość odpowiada za mniej niż 5% całkowitej emisji CO₂ – ponad 95% pochodzi ze źródeł naturalnych, niezależnych od ludzkiej aktywności. Czy 5% może wywołać jakieś radykalne zmiany?! Ano, może, gdyż klimat jest układem wybitnie nieliniowym. Akumulujące się w atmosferze ludzkie przyczynki do emisji CO₂, choć same w sobie niewielkie, mogą się kiedyś okazać taką ostatnią słomką.

(Tekst pierwotnie ukazał się 3 sierpnia 2010 na blogu Tygodnika Powszechnego, który za chwilę zostanie zamknięty.)

Nie, nic o polityce. Ten tekst planowałam, odkąd w bibliotece mojego instytutu w Augsburgu odkryłam hipnotyzującą książkę: The Flying Circus of Physics. Trudno się od niej oderwać, bo autor sprytnie podzielił dzieło na tom pytań i tom odpowiedzi, które trzeba dopiero wyszukać. Po to, żeby można było najpierw samemu pogłówkować. Na przykład: dlaczego przy puszczaniu „kaczek" kamień odbija się od wody?

Lecz wróćmy do naszych „kaczek". Latający cyrk, wydany po raz pierwszy w 1977 roku, jest wciąż uzupełniany. W internecie można przeczytać co prawda nie całą książkę, ale jej najnowsze fragmenty. Jak się okazuje, w kwestii skaczących po wodzie kamieni jest co uzupełniać! Dopiero w XXI wieku fizycy zaczęli bliżej rozumieć to zjawisko, znane przecież od starożytności. Znamienite pismo Nature w 2004 roku opisało doświadczenia francuskich badaczy z filmowaniem „kaczek" w zwolnionym tempie. Zastosowali oni specjalną katapultę, pozwalającą kontrolować prędkość pocisku i tempo jego wirowania.

Aby kamień skakał po wodzie, jego prędkość musi przekraczać pewną wartość progową. Inaczej pocisk prześliźnie się po wodzie, szybko zatrzyma i zatonie. Odkryto, że przez całą drogę prędkość pozioma kamienia jest prawie stała, podczas gdy w kierunku pionowym podskakuje on coraz wolniej. Pocisk musi jednak wirować – i to z szybkością również przekraczającą określony próg – żeby stabilizować swój ruch. Okazało się, że istnieje „magiczny kąt" – około 20 stopni – pod którym kamień musi być nachylony, aby można było uzyskać najdłużej skaczącą „kaczkę" przy minimalnej sile rzutu. W ślady Francuzów poszli zaś fizycy z Japonii i w 2005 roku opublikowali w renomowanym Physical Review Letters obliczenia teoretyczne dokładnej wartości „magicznego kąta", oraz minimalnej prędkości dla uzyskania „kaczki", zależnej od ciężaru i wielkości kamienia.